Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ) сообщает о прорыве, совершённом математиком Иваном Ремизовым из Нижнего Новгорода. Ему удалось найти относительно простой способ решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Подобные уравнения, имеющие фундаментальное значение для описания динамических систем в науке, на протяжении почти двухсот лет считались неразрешимыми в общем виде.
Источник изображения: ИИ-генерация ChatGPT 5.2/3DNews
Историческое ограничение восходит к работам французского учёного Жозефа Лиувилля, который ещё в 1834 году доказал, что решения этих уравнений невозможно выразить через конечный набор элементарных функций и стандартных операций. Это вынуждало исследователей либо искать частные случаи, либо применять приближённые методы, что исключало существование универсального алгоритма и чрезвычайно затрудняло вычисления. Проще говоря, не было такой формулы, куда можно было бы просто подставить исходные данные и мгновенно получить точный ответ.
Иван Ремизов предложил инновационный подход, расширив арсенал допустимых математических действий. Вместо того чтобы оспаривать выводы Лиувилля, он ввёл в рассмотрение дополнительный инструмент — вычисление предела последовательности. Для реализации этой идеи математик задействовал теорию Чернова и преобразование Лапласа. В результате ему удалось сконструировать универсальную формулу, которая формально предоставляет решение для любого уравнения из этого «нерешаемого» класса, обходя классические теоретические барьеры.
«Основная мысль заключается в разбиении сложного, изменчивого процесса на бесконечное число элементарных шагов. Для каждого такого интервала строится своё приближение — простой фрагмент, описывающий поведение системы в данной точке. По отдельности эти элементы дают лишь упрощённую модель, однако, когда их количество стремится к бесконечности, они seamlessly соединяются в идеально точную кривую решения», — разъясняется в пресс-релизе НИУ ВШЭ.
«Уравнения второго порядка применяются не только для моделирования реальных физических явлений, но и для определения новых функций, которые невозможно задать другими способами. К таким, например, относятся специальные функции Матье и Хилла, играющие критическую роль в понимании движения спутников по орбите или протонов в Большом адронном коллайдере».
Более строгое математическое описание данного открытия доступно на портале НИУ ВШЭ. Полная версия исследования на английском языке представлена в «Владикавказском математическом журнале».
